【LSP】正交多项式介绍及应用 （4）

无名

2.4 拉盖尔多项式#
拉盖尔多项式是定义在区间 (0,+∞)(0,+∞) 上关于权函数 e?xxαe?xxα 正交的多项式，
拉盖尔多项式的正交关系：

∫+∞0xαe?xL(α)m(x)L(α)n(x)dx=(n+α)!n!δmn
∫0+∞xαe?xLm(α)(x)Ln(α)(x)dx=(n+α)!n!δmn
拉盖尔多项式的递推关系（α=0α=0）：

Ln+1(x)=(2n+1?x)Ln(x)?nLn?1(x)n+1
Ln+1(x)=(2n+1?x)Ln(x)?nLn?1(x)n+1
前6项拉盖尔多项式（α=0α=0）:

L0(x)=1
L0(x)=1
L1(x)=?x+1
L1(x)=?x+1
L2(x)=12x2?2x+1
L2(x)=12x2?2x+1
L3(x)=?16x3+32x2?3x+1
L3(x)=?16x3+32x2?3x+1
L4(x)=124x4?23x3+3x2?4x+1
L4(x)=124x4?23x3+3x2?4x+1
L5(x)=?1120x5+524x4?53x3+5x2?5x+1
L5(x)=?1120x5+524x4?53x3+5x2?5x+1
L6(x)=1720x6?120x5+58x4?103x3+152x2?6x+1
L6(x)=1720x6?120x5+58x4?103x3+152x2?6x+1
前6项拉盖尔多项式的图像：

图5. 前6项拉盖尔多项式。