【LSP】正交多项式介绍及应用 （5）

无名

2.5 埃尔米特多项式#
埃尔米特多项式是定义在区间 (?∞,+∞)(?∞,+∞) 上关于权函数 e?x2e?x2 正交的多项式。
埃尔米特多项式分为概率论中的埃尔米特多项式和物理中的埃尔米特多项式，这里只介绍物理学中使用的埃尔米特多项式。

埃尔米特多项式的表达式为：

Hn(x)=(?1)nex2dndxne?x2
Hn(x)=(?1)nex2dndxne?x2
埃尔米特多项式的正交性：

∫+∞?∞Hm(x)Hn(x)e?x2dx=π??√2nn!δmn
∫?∞+∞Hm(x)Hn(x)e?x2dx=π2nn!δmn
埃尔米特多项式的递推公式：

Hn+1(x)=2xHn(x)?2nHn?1(x)
Hn+1(x)=2xHn(x)?2nHn?1(x)
前6项埃尔米特多项式为：

H0(x)=1
H0(x)=1
H2(x)=2x
H2(x)=2x
H3(x)=4x2?2
H3(x)=4x2?2
H4(x)=16x4?48x2+12
H4(x)=16x4?48x2+12
H5(x)=32x5?160x3+120x
H5(x)=32x5?160x3+120x
H6(x)=64x6?480x4+720x2?120
H6(x)=64x6?480x4+720x2?120
前6项埃尔米特多项式图像：

图6. 前6项埃尔米特多项式
3 正交多项式的应用#
正交多项式的应用甚广，包括但不限于数值分析，逼近理论，积分，微分方程，复变函数，随机矩阵理论，编码理论等。

这里仅以一个小的例子来说明正交多项式在函数拟合中的应用。

实验中使用的测试函数为 y=4x+3x2+cos(x)+sin(2x)+exy=4x+3x2+cos(x)+sin(2x)+ex，定义区间为 (?2,2)(?2,2) ，实验比较了多项式展开3项时不同多项式的拟合均方误差（MSE），归一化均方误差（NMSE）。

图7. 不同多项式拟合结果
从拟合结果来看，在展开3项时，埃尔米特多项式的拟合误差较小，其他的多项式拟合误差相当。
测试程序如下：