【LSP】正交多项式介绍及应用（3）

无名

2.3 切比雪夫多项式#
切比雪夫多项式是定义在区间 (?1,1)(?1,1) 上关于权函数 11?x2√11?x2 正交的多项式。

2.3.1 第一类切比雪夫多项式#
第一类切比雪夫多项式的表达式为：

Tn(x)=cos(nθ)
Tn(x)=cos?(nθ)
令 x=cos(θ)x=cos(θ)，则 Tn(x)=cos(narccos(x))Tn(x)=cos?(narccos?(x))，
第一类切比雪夫多项式的正交性为：

∫1?111?x2?????√Tm(x)Tn(x)dx=?????0m≠nπn=m=0π2n=m≠0
∫?1111?x2Tm(x)Tn(x)dx={0m≠nπn=m=0π2n=m≠0
第一类切比雪夫多项式的递推公式：

Tn+1(x)=2xTn(x)?Tn?1(x)
Tn+1(x)=2xTn(x)?Tn?1(x)
第一类切比雪夫多项式的前6项：

T0(x)=1
T0(x)=1
T1(x)=x
T1(x)=x
T2(x)=2x2?1
T2(x)=2x2?1
T3(x)=4x3?3x
T3(x)=4x3?3x
T4(x)=8x4?8x2+1
T4(x)=8x4?8x2+1
T5(x)=16x5?20x3+5x
T5(x)=16x5?20x3+5x
T6(x)=32x6?48x4+18x2?1
T6(x)=32x6?48x4+18x2?1
第一类切比雪夫多项式的图像
2.3.2 第二类切比雪夫多项式#
第二类切比雪夫多项式的表达式为：

Un(x)=sin[(n+1)θ]sinθ
Un(x)=sin?[(n+1)θ]sin?θ
第二类切比雪夫多项式的正交性为：

∫1?11?x2?????√Um(x)Un(x)dx={0m≠nπ2n=m
∫?111?x2Um(x)Un(x)dx={0m≠nπ2n=m
第二类切比雪夫多项式的递推公式：

Un+1(x)=2xUn(x)?Un?1(x)
Un+1(x)=2xUn(x)?Un?1(x)
第二类切比雪夫多项式的前6项：

U0(x)=1
U0(x)=1
U1(x)=2x
U1(x)=2x
U2(x)=4x2?1
U2(x)=4x2?1
U3(x)=8x3?4x
U3(x)=8x3?4x
U4(x)=16x4?12x2+1
U4(x)=16x4?12x2+1
U5(x)=32x5?32x3+6x
U5(x)=32x5?32x3+6x
U6(x)=64x6?80x4+24x2?1
U6(x)=64x6?80x4+24x2?1
第二类切比雪夫多项式的图像：

图4. 前6项切比雪夫多项式。