【LSP】正交多项式介绍及应用（2）

无名

2.2 勒让德多项式#
勒让德多项式是定义在区间 (?1,1)(?1,1) 上关于权函数1正交的多项式。勒让德多项式实际上是雅克比多项式在 α=β=0α=β=0 时的特殊情况。
勒让德多项式的表达式为：

Pn(x)=12nn!dndxn[(x2?1)n]
Pn(x)=12nn!dndxn[(x2?1)n]
勒让德多项式的递推公式为：

(n+1)Pn+1(x)=(2n+1)xPn(x)?nPn?1(x)
(n+1)Pn+1(x)=(2n+1)xPn(x)?nPn?1(x)
勒让德多项式的正交性：

∫1?1Pm(x)Pn(x)dx=22n+1δmn
∫?11Pm(x)Pn(x)dx=22n+1δmn
前6阶勒让德多项式：

P0(x)=1
P0(x)=1
P1(x)=x
P1(x)=x
P2(x)=32x2?12
P2(x)=32x2?12
P3(x)=52x3?32x
P3(x)=52x3?32x
P4(x)=358x4?154x2+38
P4(x)=358x4?154x2+38
P5(x)=638x5?354x3+158x
P5(x)=638x5?354x3+158x
P6(x)=23116x6?31516x4+10516x2?516
P6(x)=23116x6?31516x4+10516x2?516
前6阶多项式图像：

图3. 前6项勒让德多项式